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他的神情凝重起来，“光是构建Voronoi图时，计算那些由垂直平分线构成的交点，就会涉及大量的浮点数运算。
double的精度误差是会累积的。
只要有一个交点因为精度问题偏离了哪怕只偏离10^7，整个数据结构的拓扑关系就全错了，后面的所有查询，都会是垃圾结果。
这道题的测试数据，一定是用最刁钻的方式，卡着我们精度的。”
这就是计算几何竞赛中的“魔鬼”
——精度问题。
它像一个幽灵，能让你明明拥有了全世界最正确的思路，却仍然写不出结果可接受的代码。
然而，程明笃似乎早就料到了这个问题。
他的脸上，没有露出什么意外。
他拿起白板擦，擦掉了刚才画的一个辅助圆，然后看着两位队友，用一种异常冷静的语气说道：
“我知道。
所以，我们不用double。”
队友愣住了：“不用double？那怎么计算交点和距离？”
“用我之前封装过一个几何库模板，所有的坐标点，我们全部用整型（longlong）来存储。
所有涉及方向判定、点在线的哪一侧、内外关系等核心的几何判断，全部用基于向量的叉积和点积来计算。
这样，我们就可以在整个建图过程中，从根本上避免任何浮点数的比较，保证所有拓扑关系的正确。”
“那距离呢？”
数学队友追问，“最后一步判断‘最远点’和圆心的距离，必须要开方，一定会产生浮点数。”
“对，”
程明笃点头，“但那已经是我们唯一需要动用浮点数的、最后一步了，但是我们不需要真的开方，用平方来进行比较，将精度误差的风险降低。”
题目上的沟壑，
如今他们用数学来一一填平。
程明笃负责在白板上，用他那强大的空间想象力，处理最复杂的逻辑和边界情况。
数学队友负责将程明笃的思路，转化为一行行严谨的数学推导，供编码的队友参考。
时间，来到最后一分钟。
“提交。”
程明笃的声音此时已经掀不起一丝波澜。
对于真正能参加这场决赛的人来说，一道题得以巧妙解决，在出结果的瞬间就一直差不多知晓了。
队友按下提交键。
全世界的目光，都聚焦在了他们队伍的屏幕上。
旋转，等待，判定……
当那个代表着“通过”
的、绿色的“Accepted”
字样，在屏幕上亮起的瞬间——
全场响起了雷鸣般的掌声和惊呼声！
一个工作人员微笑着，拿着一只代表着“J题”
的、独一无二的金色气球，走到了他们的座位旁，将它系好。
在整个赛场数百个五颜六色的气球中，这只金色的气球，如同胜利者加冕。
程明笃的队伍，在比赛结束前的最后几秒，成功解出了全场最难的一道题，几乎锁定了胜局！
颁奖礼上，主持人用激昂的声音，揭晓了那最后一小时的悬念，并最终喊出“20XX年ICPC全球总决赛世界冠军——来自MIT的‘InfiniteRecursion’队时，程明笃和他的队友们，在他二十岁不到的年纪，一起站上了那个属于全世界最聪明大脑的领奖台。
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