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这说明,该壶为B壶的可能性增大了。
那么,为什么B的一侧会变成8倍呢?这是因为,这一变化反映了:从A中观察到黑球的概率是0.1,而从B中观察到白球的概率是0.8,这一比例增大了8倍。
相反,如果在第n+1次观察到白球,后验概率的比例关系则变为:
a:b→9a:2b
那么,该壶为A壶的可能性增大。
现在,假设该壶为B壶。
此时,反复观察会发现,取出黑球所占的比例比白球要大。
因此,反复观察的次数越多,B侧的数值b更大的次数也越多。
那么,如果进行多次观察,则后验概率中的b就会无限接近1,而a无限接近0。
这意味着,基本上能够断定:此壶为B壶。
换言之,能够说明“实际情况与推理结果——该壶为B壶,是一致的”
。
如果数学计算来解释上述问题,将会非常烦琐复杂。
因此,以下在图表13-9中为大家列举数值来进行说明,这样更加简洁易懂。
图表13-9观察到黑球的次数&后验概率&发生的可能性
图表13-9体现的是:在观察20次球的颜色之后,根据出现黑球的次数来推算“该壶为B壶”
的后验概率。
其中第2行表示“该壶为B壶”
的后验概率的数值。
例如,在“黑球出现了6次”
的情况下,通过图表中我们可以看出“该壶为B壶”
的后验概率为0.0002。
也就是说,如果黑球只出现6次,那么“该壶为B壶”
的后验概率将是一个极小的数值。
而在“黑球出现了9次”
的情况下,时,“该壶为B壶”
的后验概率为0.898。
换言之,只有当黑球出现9次左右的,“该壶为B壶”
的后验概率才会为一个很大的数值。
因此我们想要知道的是,“如果该壶为B壶,那么能够观察到多少次黑球呢?”
表中第3行表示:当该壶为B壶时,第1次便观察到黑球的概率。
通过观察表中数值可分析出:当该壶为B壶时,观察到黑球的次数少于9次的可能性是很小的,因此也可以认为,这种情况根本不会发生。
因而,即使判定观察到黑球的次数在10次以上,风险也不会很大。
此时,根据贝叶斯推理计算出的“B壶的后验概率”
b的数值均为99%以上。
换言之,通过贝叶斯推理能够得出“毋庸置疑,此壶为B壶”
的判断(当然,也有一种微乎其微的可能性:观察到黑球的次数在8次以下,这种情况下,推理就有可能是错误的)。
通过上述具体事例,大家应该已经理解了“观察次数越多,推算结果就越接近实际”
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