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第17讲 贝塔分布的性质由两个数字决定(第2页)

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的部分,是为了使标准化条件(所有事件的概率之和为1)成立,而进行了调整的数值,因此在贝叶斯推理中并不是那么的重要。

接下来,我们通过几个例来理解。

例1:α=1,β=1时,

x0=1,也就是“任何非零数的零次幂为1”

(1)式为

y=(常数)×x0(1-x)0=(常数)×1×1=(常数)(0≤x≤1)

y=(常数)的图像是一条与x轴平行的线段,这与上一讲中的[0,1]-赌盘模型相一致。

并且,从标准化条件来考虑的话,(常数)必须为1。

于是也可以用以下的(2)式来表达(图表17-1)。

y=1(0≤x≤1)…(2)

例2:α=2,β=1时,

根据上面的(1)式,

y=(常数)×x1(1-x)0(0≤x≤1)

可以得出:

y=(常数)x(0≤x≤1)…(3)

为一次函数,如图表17-2所示,函数的图像为一条向右上方延伸的线段。

这里(常数)=2,原因将会在17-4中予以说明。

例3:α=1,β=2时,

根据上面的(1)式,

y=(常数)×x0(1-x)1(0≤x≤1)

可以得出:

y=(常数)(1-x)(0≤x≤1)…(4)

同样为一次函数,如图表17-4所示,函数的图像为一条向右下方延伸的线段。

这里(常数)=2,原因将会在17-5节中予以说明。

例4:α=2,β=2时,

根据上面的(1)式,

y=(常数)×x1(1-x)1(0≤x≤1)

可以得出:

y=(常数)×x(1-x)(0≤x≤1)…(5)

为二次函数,如图表17-5所示,函数的图像为抛物线的一部分。

这里(常数)=6,原因将会在17-6节中予以说明。

接下来,将对这些例子逐一进行详细说明。

17-3α=1,β=1的例子即为[0,1]-赌盘模型

17-2中已经解说过,α=1、β=1时的贝塔分布,也就是是[0,1]-赌盘模型(均匀分布的一种)。

反过来可以说,[0,1]-赌盘模型是贝塔分布的一种,如图表17-1所示。

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