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但为了处理永无止境的数，我们迟早得放弃不断引入新名字，而只能开始把它们按批次分组。
按10个来分组代表发展出了一个坚实的数字系统的第一阶段，这个方法在古今中外几乎都是一样的。
但是各个文明在细节上却有很多不同。
罗马系统除了按10分组外，同样也喜爱用5分组。
他们使用特殊符号V和L，来分别代表5和50。
古希腊系统则直接使用了十进制。
他们用某些字母来代表数，有时候加上上画线来告诉读者这个符号应被解读为一个数，而不是平常的词语中的一个字母。
比如，π代表80，而γ代表3，于是他们可以写下πγ来代表83。
与我们的现代数学符号相比，它看起来好像同样高效，也确实相差不多，但它们是不一样的。
希腊人仍然没能运用进位系统，因为他们每个符号的值都是固定不变的。
具体来说，γπ还是只能表示同样的数——3＋80。
而如果我们将83的数字顺序颠倒，会得到一个不同的数——38。
在印度-阿拉伯数字系统（Hindu-Arabiumbersystem）中，数的第二个阶段得以实现。
其主要思想是让一个符号的值依赖于它在字符串中出现的位置。
这使我们可以只使用一套固定的符号来表示任何数。
我们最终选择了由0，1，2，…，9这十个数字组成的数字系统。
这套常用的数字系统被称为十进制（baseten）。
当然，我们完全可以用一个更大或者更小的基本符号集来建立我们的数字系统。
我们甚至可以使用两个数字去建立数字系统，比如0和1。
这被称为二进制（binarysystem），在电脑运算中经常被用到。
需要明确的是，具有革命性的不是对底数的选择，而是这样一种思想：使用位置来传达额外的信息，从而确定数的值。
例如，当我们写下一个数，比如1905，每个数字的值取决于其在数字串中的位置。
这里有5份1，9份100（即10×10），以及1份1000（即10×10×10）。
符号0被用作一个占位符，这很重要。
在1905这个例子中，十位并没有贡献，但我们不能忽略它而只写作195，因为那代表了一个完全不同的数。
事实上，每个数字串都代表了一个不同的数，正因为如此，海量的数才可能用很短的字符串表示出来。
比如，用不超过10位的字符串便可以给地球上每个人分配一个独特的号码，这样，这个巨大集合中的每一个体都有了个人代号。
不同的古代社会在书写数时使用了不同的底数，但这远不能弥补一个事实，即几乎所有文明都缺少一套真正的进位制系统，更谈不上使用零来作为占位符。
在古代的所有民族中，巴比伦文明的数字系统是最为接近位值进位法的系统，考虑到他们的古老程度，这实在让人赞叹。
然而，他们没有彻底拥抱那个不那么自然的数—0。
比如，我们用0来区分830和83，而古巴比伦人刻意回避了在数字串末尾使用这样一个表示空的符号。
意识到0确实是数，这需要跨越一个概念上的障碍。
0确实并非一个正数，但它依然是一个数，如果不将它以一种完全自洽的方式吸纳进来，我们的数字系统就是残缺不全的。
约公元6世纪，印度迈出了这关键的最后一步。
现代的数字系统被称为印度-阿拉伯数字系统，正因为它是从印度经由阿拉伯传到了欧洲。
有或没有小数的生活
为一个数字系统选底数有点像为一张地图选比例尺，这并非基于对象内在的性质，而是类似于赋予它一个坐标系，作为控制用的工具。
我们对底数的选择本质上是任意的，面对自然数集1，2，3，4，…的时候，排他性地使用底数10让我们戴上了有色眼镜。
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