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每种不同的山脉构型都对应一组有意义的括号，因此将n对括号有意义地排列起来的方法个数，恰好是第n个卡特兰数。
例如，（（））（）和（（（）））是有意义的括号方法，但（））（（）不是：有意义是指从左向右数时，左括号的个数从不小于右括号的个数。
这对应于山脉始终位于地面上方这一自然条件。
比方说，图3中第一个和最后一个山脉的构型分别对应于（）（（））和（）（）（）这两种括号排列。
第n个卡特兰数还代表将n＋2边的正多边形被互不相交的对角线分成三角形的方法个数。
沿着这一思路，卡特兰数还有其他解读方法。
正如二项式系数，也有公式联系了卡特兰数和更小的卡特兰数，这使对它们的计算变得很简便。
斐波那契数列
恐怕没有第二个数列像斐波那契数列（Fibonace）那样使普罗大众着迷了，它是如下的数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…
在起始的两个数之后，每个数都是其之前两数之和。
在这一点上，二项式系数与其有相似之处，因为那里每一项也是之前两数之和。
但是斐波那契数列的组成方式更简单：
fn=fn-1＋fn-2
这里fn表示第n个斐波那契数，并且我们规定f1=f2=1。
我们将这种用先行项来定义当前项的公式叫作递归（re）或递推关系（recerelation）。
这一数列是从哪里来的呢？它最先是由比萨的莱昂纳多（LeonardoofPisa）——更有名的称呼是斐波那契——在他著名的兔子问题（Rabbitproblem）中引入的。
一只雌兔出生两个月后达到生育年龄，并在这之后的每个月生下一只雌兔。
那么每个月初雌兔的总数由斐波那契数列给出。
第一个和第二个月初当然只有一只兔子。
第三个月初雌兔生下一只雌兔，因而我们有2只雌兔。
到了下个月，它又生下一只，于是共有3只雌兔。
再下个月，雌兔总数达到5只，因为雌兔和它的大女儿都能够生育。
一般地，在这之后的每个月初，新生雌兔的数量等于两个月前雌兔的总数，因为此刻只有它们处于生育年龄。
于是，每月初雌兔总数等于上月雌兔的数量与上上个月雌兔数量之和（斐波那契的雌兔是永生的）。
因而斐波那契数列的产生方式完全符合他的雌兔繁殖的方式。
尽管真实世界的兔子并不是以这种异想天开的方式来繁殖的，斐波那契数列依然换着面孔出现在自然界中，包括植物的生长。
我们对这一现象的原因已经有了透彻的理解，这与该数列的更微妙的性质有关，即黄金分割律（goldenratio）。
我们这就来谈谈它。
最简单的数列类型便是我们在本章第一部分介绍的算术和几何数列。
虽然斐波那契数列并非它们中的一种，它却与后者有惊人的联系。
当计算斐波那契数列邻项之差并将它们也排成一列时，我们得到0，1，1，2，3，5，8，13，…，于是又得到了一组斐波那契数列，只是这次是从0开始的！
其中的原因正是这个数列形成的方式：两个相邻斐波那契数之差恰好等于它俩之前的那个数（想要代数地证明这一点，可以将上面的斐波那契递推公式两边同时减去fn-1），所以它不是算术数列。
它也不是几何数列，因为相邻两项斐波那契数之比并不是常数。
但我们观察邻项之比的时候，它似乎在一个极限值附近稳定下来，而且这个比值很快就趋于稳定了。
让我们将每个斐波那契数除以它前面一个数：
这个逐渐显露的神秘的数，1.6180…，到底是什么呢？这个数τ被称为黄金分割比，它也会出现在一些几何问题中，而这些问题看起来跟斐波那契的兔子相差十万八千里。
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