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比方说
我们得到了一个仅含有1的多层分数，并且随着计算持续进行，选出的这对相邻数之前的每对斐波那契数的比值会依次出现。
这样的现象每次都会发生：正是由于这些数的定义，每个斐波那契数都比下一个的两倍要小，因而相除之后会得到商1，余数则是前一个斐波那契数。
你也许想起来，相邻斐波那契数的比值趋近于黄金分割比——τ，这说明τ是仅由1构成的连分数的极限值。
从这个过程中产生的连分数本身就有重要意义。
当用有理数来近似任意一个无理数y的时候，我们会自然地使用y的小数表示。
这非常适用于一般的计算，但是在数学上，依附于一个特定的底数却不太自然。
本质问题在于，我们能多好地用分母相对较小的分数来逼近y。
有没有一种办法，能找到一系列的分数，既能高精度地逼近y，同时又保持较小的分母，在这两个矛盾的要求中取得最佳平衡？答案就在于一个数的连分数表达形式，并通过越来越多层的截断实现这一目的。
黄金分割比所提供的这个特殊例子打开了一条新的思路，即我们也许能表示其他的无理数，当然不是用有限的连分数（它们自己显然是有理数），而是用无穷连分数。
但是，怎样才能产生一个数a的连分数呢？为了看清这个过程，读者朋友需要容许我玩一个小小的代数上的把戏，下面就是做法。
接下来我们得到
在用有理数对无理数的逼近中，连分数的重要性在于所谓的收敛子[12]（t），即原始数的有理数近似，它们是通过截取某一层以前的连分数表达式，再求出相应的有理数来得到的。
它们代表了对原始数的最优近似，也就是说任何更好的近似的分母都将比收敛子的分母大。
黄金分割比的收敛子是斐波那契比值。
由于τ的连分数表达式中每一项都是1，这些比值收敛的速度被尽可能地延缓了。
出于这个原因，没有比τ更难用有理数逼近的数了，而斐波那契比值是你能取得的最佳结果。
[1] 通常称实数集（直线上点的集合）为连续统。
[2] 有时也称底数。
[3] 恩斯特·策梅罗（ErnstFriedriandZermelo），德国数学家。
亚伯拉罕·弗兰克尔（AbrahamFraenkel），以色列数学家。
[5] 在三进制中，0.1可用0.0222…表示。
[6] 在英文原题中，“蜘蛛”
和“甲虫”
都使用了复数形式的名词，即它们各自不止一只。
[7] 勾股数或称商高数或毕氏数。
[8] 安德鲁·怀尔斯爵士（SirAndrewWiles），英国数学家，居于美国。
[9] 谷山丰和志村五郎，均为日本数学家。
[10] 又称最简分数。
[11] 该符号表示向下取整。
[12] 又称渐进分数。
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