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【已知圆o中，弦pq的中点为m。
过点m任作两条弦ab和cd。
连接ad交pq於点x，连接bc交pq於点y。
求证：m为xy的中点。
】
“这是著名的蝴蝶定理。”
郭达笑道，“普通高考不做要求，但是在竞赛中，经常作为复杂几何题的內核出现。
现在，我给同学们十分钟时间，试著在草稿纸上找找证明思路。”
大礼堂內瞬间“嗡嗡”
地开始討论，同学们开始沙沙地书写。
齐物坐在中间靠后的位置，只是看了一眼大屏幕上的题目，就迅速有了解法。
蝴蝶定理，典型的欧式平面几何题，用纯几何法，可以做，但是很繁琐、有漏洞；
最简单的是建立坐標系，用代数运算。
张凌光、李飞在旁边不停画辅助线，七八分钟了还是毫无头绪。
“角度和长度都没有，怎么证明中点？”
“我做不出来。”
“郭达这是来显摆的吧，咱们兰苍县连省二竞赛生都没有，谁tm能做出这种题？”
……
十分钟很快过去。
“看来同学们遇到了一些困难，没关係，这是正常的。”
郭达缓缓道，“古典几何的魅力，在於寻找隱藏在暗处的辅助线。”
他给出了艺术般的解题过程。
“过点x，分別向弦ab和cd做垂线，垂足为e和f。
同理，过点y向ab和cd做垂线，垂足为g和h。”
四条红线在圆內交织，將原本就复杂的图形切割成了更加细碎的多边形。
齐物看到张凌光和李飞眉头紧皱，似乎不知道这四条垂线的意义所在。
“接下来，请大家仔细观察。”
郭达继续道，“因为是同弧所对的圆周角，所以∠a=∠c，∠b=∠d。
由此可得到两组相似三角形：Δaxe∽Δcxf、Δbyg∽Δdyh。
可得，xexf=axcx，ygyh=……”
“另一边，我们可以看出Δmxe和Δmyg都是直角三角形，且∠xme=∠ymg，所以Δmxe∽Δmyg。
同理Δmxf∽Δmyh。
可得xeyg=mxmy，xfyh=mxmy。
两式相除，可得xexf=ygyh。”
黑板上，已经被密密麻麻的Δ、角標和分数线填满。
“最后，我们將前面的比例式代入，运用相交弦定理ax·xd=cx·xb，最终化简后全部中间项消去，仅剩线段等量关係。
可证mx=my。
即m为xy的中点。”
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