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办公室里安静了下来，只剩下纸页翻动的声音。
从第一页的banach-sobolev空间范数条件验证开始，在推导算式的旁边还有一行用括號標记起来的小字。
（感谢丁兆丰学长在共振峰和纠缠点上的研究启发）
李庆国也看到了这行字，嘴角抽动了一下，欲言又止，他那个傻学生的博士研究方向，搞不好可能要没了。
翻到第三页的时候，张吉安的眉头下意识地皱了起来。
这部分的內容是对偶基的紧框架构造，韩川没有走传统正交基的路子，而是用了框架理论来解耦维数和衰减速度之间的关係。
这一部分的推导在稿纸上写得密密麻麻的。
盯著稿纸上的算式看了好一会后，张吉安忽然从笔筒里抽了一支笔出来，找了张空白的纸张开始进行验算。
很明显，对他来说，单纯的靠看弄懂手中的推导已经有些困难了。
【φ_k^（i）（α）=c·2^（-k（s-12））·‖r‖_h^s·m^（-12）.....】
【构造：令pk:x→span{e1，...，ek}为自然投影，则fk（x）=limn→∞[pnx]k的適当规范化。
】
【.....】
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稿纸一页页翻过。
张吉安手边的验算纸已经写满了大半张，密密麻麻全是推导。
李庆国站在旁边，目光落在稿纸上，又时而跟著张吉安的笔尖移动。
他是做偏微分方程的，对泛函分析和sobolev空间这套东西不陌生。
所以相对比之下，他比张吉安更轻鬆一些。
但即便是这样，伴隨著稿纸上算式的深入，他也渐渐的有些吃力了起来。
“把对偶基的维数k和框架的下界a建立了一个显式的不等式。
a≥c·2^（-k（s-12）），c是只依赖於空间维数的常数，这个不等式的推导，好像没写全。”
书桌前，张吉安对照著手中的稿纸，又看了一遍自己的推导，皱起了眉头。
正当他准备询问韩川的时候，一旁的李庆国开口道。
“他写全了，只是你没看懂而已。”
张吉安：“？？？？”
李庆国接著道：“这个不等式的推导由sobolev嵌入定理及框架不等式易得，这里是用李特尔伍德-佩利分解处理的，低频部分可以用框架不等式控制，高频部分用sobolev嵌入的余项解决。”
“这部分是实调和分析和偏微分方程的適定性理，你的主要研究方向是几何，对这方面不熟也正常。”
听到这话，张吉安愣了一下，脸上的神情尤为复杂。
他这个博士生导师，已经开始看不懂自己带的本科生学生的论文了吗？
盯著手中的稿纸看了好一会，张吉安忽然注意到了什么。
“这好像，已经不是banach空间的范数条件推算了？”
没等韩川回答，一旁的李庆国就面色古怪地开口道：“你才发现吗？”
“这部分推导，都已经开始深入圆法的核心了。”
张吉安捏著原子笔的手停在半空。
在他的预期里，把指数和嵌入banach空间並验证范数条件就足够韩川啃上一两周的时间了。
毕竟这方面的突破难度並不小。
但现在，他的任务不仅完成了，韩川好像还在这个基础上深入了很远的距离。
想著，张吉安又低头看了一眼手中的稿纸，然后开始往回翻，找到了对『控制列框架能不能用到hardy-littlewood圆法的指数和估计上验证上。
果然，在前面两页，这部分推导验算就已经完成了，剩下的部分，则是以此为基础深入圆法和控制列框架的应用。
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